Родился в 1948 г. в городе Краснокамске Пермской области. В 1971 г. закончил обучение на кафедре органической химии химического факультета Пермского государственного университета. В 1974 г. закончил аспирантуру кафедры органической химии ПГУ и сразу же по ее окончании защитил кандидатскую диссертацию. С 1974 г. является старшим научным сотрудником лаборатории органических полупроводников ЕНИ ПГУ. В 1983 г. получил звание и диплом старшего научного сотрудника.
В 1988 г. стал научным руководителем лаборатории ОПП, в 1989 г. – ее ведущим научным сотрудником, в 1993 г. – заведующим. В 1998 г. защитил докторскую диссертацию по двум специальностям: органическая и физическая химия.
Научные интересы Г.Г. Абашева и руководимой им лаборатории лежат в области синтеза электропроводящих сопряженных систем – производных тетратиафульваленов и их катион-радикальных солей и комплексов. Им разрабатываются синтезы сопряженных мономеров, олигомеров полимеров, их электрохимическое и химическое получение. Дважды (1994, 1999 гг.) Георгий Георгиевич работал в Польше (г. Познань) в рамках научного сотрудничества с институтом молекулярной физики Польской академии наук, а также во Франции (университет г. Анжер). Под руководством Г.Г. Абашева коллектив лаборатории неоднократно выигрывал конкурсы на получение финансовой поддержки РФФИ и Министерства образования Российской федерации. Г.Г. Абашев – постоянный эксперт РФФИ и Российского научного фонда, член редакционной коллегии журнала «Бутлеровские сообщения», член Ученого Совета ЕНИ при ПГНИУ, Ученого Совета Института технической химии УрО РАН (г. Пермь) по присуждению докторской степени.
С 2004 г. является ведущим научным сотрудником лаборатории синтеза активных реагентов Института технической химии УрО РАН, при этом не оставляет заведование лабораторией ОПП, которая проводила и проводит активные совместные исследования с ведущими научными коллективами как России, так и зарубежных стран. В последнее время лаборатория ОПП под руководством Г.Г. Абашева выполняла совместные работы с заводом по производству электролитических конденсаторов с полимерными электролитами на основе полиэтилендиокситиофена (ООО «Элеконд» г. Сарапул).
Автор более 160 публикаций, в том числе 15 авторских свидетельств, патентов и свыше 80 научных статей в центральных российских и зарубежных научных журналах. Результаты работы лаборатории, выполненной под его руководством, регулярно докладывались на научных конференциях разного уровня, как в России, так и за рубежом (Польша, Германия, Австрия, Португалия, Англия, Япония, Мексика, Франция, Испания, Армения). За последние шесть лет под руководством Г.Г. Абашева защищено пять кандидатских диссертаций.