Родился 9 ноября 1954 г.
После окончания экономического факультета Пермского госуниверситета работал в сельском строительстве Пермской области. Затем учился в очной аспирантуре и работал в секторе международного сотрудничества московского НИИ экономики Госстроя СССР.
После защиты диссертации на соискание ученой степени кандидата экономических наук с 1981 г. преподавал на экономическом факультете Пермского государственного университета, где прошел путь от ассистента до заведующего кафедрой экономики строительства. Работая на экономическом факультете, А.А. Климов вел большую общественную работу, был председателем профсоюзного бюро факультета. В 1988 г. организовал консультационно-учебное бюро (КУБ), которое строило свою работу на принципах рыночной экономики.
В марте 1990 г. был избран депутатом Пермского областного совета народных депутатов, членом Президиума Облсовета.
В марте 1994 г. был избран депутатом Законодательного собрания Пермской области, председателем комитета по региональной политике.
С декабря 1997 г. представлял в областном Законодательном собрании жителей южных районов Коми-Пермяцкого автономного округа и г. Кудымкара.
В декабре 1999 г. голосами более 60% избирателей Коми-Пермяцкого автономного округа избран в Государственную Думу третьего созыва.
В Государственной Думе был членом депутатской группы «Регионы России» (Союз независимых депутатов), а также входил в Комитет по делам Федерации и региональной политики.
В начале 2000 г. А.А. Климов был назначен В.В. Путиным его доверенным лицом в связи с президентскими выборами.
Весной того же года А.А. Климов выступает инициатором создания думского подкомитета по социально-экономическому развитию регионов и межрегиональным связям, затем возглавляет его.
С весны 2002 г. – заместитель руководителя депутатской группы «Регионы России».
В декабре 2003 г. вновь избиран депутатом Государственной Думы четвертого созыва от Коми-Пермяцкого избирательно округа № 216, с декабря 2003 по октябрь 2005 г. был членом комитета Государственной Думы по делам Федерации и региональной политике, руководил подкомитетом по вопросам региональной политики и межрегиональных отношений.
С октября 2005 г. по настоящее время входит в состав комитета Государственной Думы по международным делам. Возглавляет подкомитет по европейскому сотрудничеству. Является заместителемь руководителя депутатской группы фракции «Единая Россия». Руководит парламентской группой по связям с парламентами стран Бенилюкса (Бельгия – Люксембург – Нидерланды).
Имеет письменные благодарности Президента РФ, почетные грамоты Пермской области и Коми-Пермяцкого автономного округа. Награжден Орденом РПЦ Преподобного Сергия Радонежского.
В 2004 г. за плодотворную законодательную деятельность, высокие достижения в государственной и общественной работе, большой вклад в развитие парламентаризма и в связи с 50-летием со дня рождения Указом Президента Российской Федерации награжден орденом Почета.
В 2006 г. за развитие сотрудничества между Российской Федерацией и Европейским Союзом награжден орденом «Заслуги» (в ранге «Командор») Великого Герцогства Люксембург (в рамках председательства Люксембурга в ЕС).
В декабре 2006 г. А.А. Климов защитил диссертацию на соискание ученой степени доктора экономических наук в Институте системного анализа РАН.